積分（詳細は、回転体及び回転面を参照）を用いて、体積 Va および表面積 Aa は, と求められる。a は望む限り大きくすることができるが、上記の方程式から分かることとしてホルンの x = 1 から x = a までの部分の体積が π を上回ることは無い（が、a が大きくなればなるほど、体積は π により近づく）。数学的に述べれば、a が無限大へ近づく極限において体積は π へ近づく、微分積分学における極限記法では, ということになる。一方、表面積に関する上記の式は、表面積の下界が a の自然対数の 2π-倍で与えられることを言っている。a が無限大に近づく際にa の自然対数に上界は無い。それはガブリエルのホルンにおいてはホルンが無限の表面積を持つという意味になる。言い換えるならば次のようになる。, ガブリエルのホルンの性質が発見された時代には、xy-平面上の無限に広い図形を x-軸のまわりに回転させて生成された対象の体積が有限であるという事実は逆説的なものに受け取られた。実際には、ガブリエルのホルンは確かにxy-平面における断面積は無限大である一方で、これに平行な他の任意の断面は有限の面積を持つ。従ってその体積も（それは各断面の「重み付き」和に等しいから）有限になる。, 恐らくより説得力のあるやり方は、半径が減衰する円板の積み重ねとしてホルンを扱うことである。それらの形状は同一なので、単に半径の和を計算したくなるかもしれないが、そうすると調和級数となって無限大に発散してしまう。より注意深く考察すると、半径の平方和を計算する必要があるとわかる。各円板は半径 r = 1⁄x と表面積 πr2 = π⁄x2 を持つ。それらの和を考えると 1⁄x の級数（つまり調和級数）は発散するが、1⁄x2 の級数は収束する(より一般に、任意の実数 ε > 0 に対して 1⁄x1+ε の級数は収束する)。, このパラドックスは、トマス・ホッブズ、ジョン・ウォリス、ガリレオ・ガリレイといった、当時の重要な思想家の多くが関わってきた無限の性質について、大きな議論を呼んだ[1]。, ガブリエルのホルンは有限の体積と無限の表面積を持つのだから、有限の量のペンキでそれを満たすことができるように思われるのに対して、その満たしたペンキでホルンの内側面を塗り尽くすことはできないようにも思われる（ここにパラドックスが生じる！）。実際には、数学の理論的な意味においては有限な量のペンキで無限の面積を塗ることは「可能」である。それはペンキの皮膜の厚みが、無限に拡大していく面積に追随できる程度に「十分速く」薄くなれば実現できる（カブリエルのホルンの場合、ホルンの先が細くなるにつれてそうなることを余儀なくされる）。しかし、ホルンの外側面を一定の厚みで覆うには、それをどれほど薄くしても無限の量のペンキが必要となるであろう[2]。, もちろん現実には、ペンキは無限に分割することができないし、ある点においてホルンは一つの分子さえも通さないほどに細くなる。しかし当のホルンも分子で出来ているし、それゆえにその表面も連続的な滑らかな曲線ではなく、またそれゆえにこのホルンを離散的な粒子と離散的な距離から形作られる物理空間の支配領域へ持ち込めば、上記の論法は全体として破綻する。我々は原子や量子のサイズを下回ってゼロに滑らかに近づける極限が取れる世界（数学的な連続性を持つ世界）における理想的なペンキについて述べねばならないのである。, ガブリエルのラッパとは逆の現象、つまり有限の表面積と無限の体積をあわせ持つ回転面は、存在しえない。, に注意する。したがって、上限 sup{f(x) | x ≥ t0} が有限となる t0 が存在する。ここに f は連続ゆえ M = sup{f(x) | x ≥ 1} は有限でなければならず、それにより f が [1,∞) で有界であることが導かれる。最後に体積, に注意する。以上により面積 A が有限ならば、体積 V もまた有限でなければならない。, http://people.emich.edu/aross15/math121/misc/gabriels-horn-ma044.pdf, http://www.maa.org/programs/faculty-and-departments/classroom-capsules-and-notes/a-paradoxical-paint-pail, Information and diagrams about Gabriel's Horn, Gabriel's Horn: An Understanding of a Solid with Finite Volume and Infinite Surface Area, https://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=ガブリエルのラッパ&oldid=79525618. saoガブリエルの正体はggoでシノンが語っていた話に出てくる外国人プレイヤー・サトライザーでした。ガブリエルは作中で死亡するのかその考察や、強さと能力についてもまとめて解説しています。 大天使ガブリエルは、旧約聖書などでは神の言葉を伝えるという役割を担っています。「神の人」とされる偉大な天使の一人です。 この記事では大天使ガブリエルについてキリスト教、イスラム教、ユダヤ教別にご紹介しています。 エノクを天に運んだ天使のひとりであり、大地の天使、第二天の守護者であるとも言われる。, ７４５年、ザカリアス教皇の開いたローマ法王庁の教会会議によって、多くの高位の天使が堕天使として告発され、堕天使におとしめられた。ラグエルは“聖人になりすます”悪魔として非難された。四大天使のウリエルやイニアス（Inias）、アディムス（Adimus）といった天使たちも堕天使の烙印を押された。この判定に訴えを起こした司祭もいたが、彼らもまた異端派として追放された。当時庶民の間で加熱していた天使信仰を抑えるための処分だったとされている。, レミエルとは「神の慈悲」の意を持つ。魂を最後の審判に導く役目を持ち、『エノク書』では七人の大天使の指示を伝える責任を持つと言われる。また堕天使のひとりとしても数えられている。, レミエルの別名はラミエル（Ramiel）で、「真の幻視を統括する」天使として現れている。神が選ばれた人間に対して伝えるヴィジョンによるメッセージ、それが幻視である。黙示もまた、幻視によって伝えられるものである。, ラツィエル（Ratziel）、ガリズル（Gallizul）、サラクエル（Saraquel）などの別名を持ち、「秘密の領域と至高の神秘の天使」の称号を持つ。ラジエルは地上と天界の全ての秘密を知り尽くしていて、それを一冊の書物にまとめた。その本は「セファー・ラジエル（Sefer Rasiel）」と名付けられている。本は最初は楽園を追放されたアダムに与えられた。しかし嫉妬に駆られた天使たちによってこの本は海に投げ捨てられる。それが原始の海の支配者の天使ラハブによって返され、様々な経過を得た後エノクに与えられ、次にはノアに与えられた。この本から知識を得て、ノアは方舟の建造を可能にした。その後ダヴィデ王やソロモン王の手に渡った後、所在不明になり、中世になってウォルムスのエリアゼルの著作として現れた。 この発見は微分積分学の発明以前のことで、カヴァリエリの原理が使われたが、今日の微分積分学は x = 1 と x = a (a > 1) の間の体積と表面積の計算を利用することができる。 ガブリエルのホルン（英: Gabriel's Horn ）またはガブリエルのトランペットは、有限の体積と無限の表面積を併せもつ幾何学的な空間図形である。 その名称は、有限が無限（神）と結びつくこの現象を、最後の審判を告げる笛を吹くという伝承の大天使ガブリエルへなぞらえたものである。 基本的に今日の私たちが思い描く天使の姿といえば、女性とも男性とも区別がつかないような美しい中性的な人間の背中に翼が生えたような姿を想像することが多いだろう。 人間が神の意に逆らったり、その意に添わないとき、また罪を犯したとき、神は厳しい。 古代から中世の頃まで、神学者たちによって、教会と同じく天使にも階層をつくりランク付けをすることが何度も行われていた。この階級についてはいろいろな説があって違いもあるが、カトリックでもっとも信用を得ているものに偽ディオニュシオスによる天使の九階級がある。この九つの階級はそれぞれ三つに上級・中級・下級の三隊に分かれている。, 燃えさかる蛇というヘブライ語源を持つ最高位の天使。キリスト教では六枚の翼を持つとされている。彼らは純粋な光の思考として神と直接に交わり、愛の炎と共振する。サンクトゥス（ヘブライ語でトリスアギオンの歌詞「聖なるかな、聖なるかな、聖なるかな、昔いまし、今いまし、後きたりたもう、主たる全能の神」の刻まれた炎の短剣）か旗を持っている。天使の姿で人間の前に現れるとき、六枚の翼と四つの頭を備えるという。彼らは「愛の精霊」と呼ばれることもある。, ヘブライ語源で「知識」、「仲裁する者」という意味を持つ。『創世記』のくだりに、アダムとイヴが楽園を追放されると、神は「エデンの園の東にケルビムと、自ずから回る炎の剣を置きて、生命の樹の途を守りたもう」とある。三千年前には翼の生えたライオンの体に人の顔を持つ姿で、『エゼキエル書』では四枚と四つの　翼、腕、顔を持つ者として現れている。しかし、どうしたことかそれが後には一般にキューピッドとして知られる小さな翼をはためかすころころとした赤子の姿で描かれるようになった。, 別名をオファニム（Ofanim）もしくはガルガリン（Galgalim＝戦車、瞳）といい、“神の玉座を運ぶ尊厳と正義の天使”、“意思の支配者”とされる。ユダヤのメルカバ伝承では大きな「車輪」、「多くの目を持つ者」としてあらわされる。, ドミネイションズ（Dominations）、ロード（Lords）、ヘブライの伝承ではハシュマリム（Hashmallim）と呼ばれることもある。神による真の統治を熱望し、「天使の務めを統制する」天界の行政官。神の言葉をあまねく宇宙に知らしめるために活動し、森羅万象に関わる命令を請け負う。, 「光り輝く者、輝かしき者」として知られる。神の力を引き出して地上に奇跡を起こす。難局にある善人に勇気を与える。また、能天使とともに宇宙の物理法則を保つことも行う。, ポテンティアス（Potentates）とも呼ばれる。自然界の法則の秩序を守る手助けをする。彼らは神によって最初に創られたとされ、もっとも危険で過酷な任務を帯びている。地獄に落とされた天使、堕天使である悪魔の軍勢の最前線に陣取り対抗する。が、その任務の厳しさからか、ここからもっとも多くの堕天使が出たという。, Princedoms（プリンスが支配する領地）という意味を持つ。地上の国や都市を統治支配する役職にある。善霊を悪霊の攻撃から守るという役割も持つ。, 八番目の軍団とされながらトップランクの権力と能力と誇示する。ユダヤ、キリスト教ともに大天使の数は七人とされている。この中にミカエルら四大天使がいる。, ヘブライではこの宇宙は階層性で、神は宇宙の中心にいるとともにこの階層の中心にいる。階層の中心にいる天使ほど神の御座の近くにいて、中心部では愛（熾天使）と知恵（智天使）の振動が起きている。中心に近い天使ほど霊的で非物質的な存在で、円の外に行くほど物質世界に近づくことになる。人間たちと近い位置にいる天使や大天使が階層の外縁部にいるのはこのためである。, 天使の九階級の中で八番目の位にある大天使、しかしながら、彼らはもっとも人間の近くにいると同時に、最も重要な役割と権威を持っている。最高位である熾天使の君主に彼ら大天使がいることもある。だがこうした位の混乱や矛盾などは天使においてはよくあることでもある。, 大天使の数はキリスト、ユダヤ教でともに七人と認めている。『黙示録』で神の御前に立つ七人の天使も大天使であると言われている。しかし、誰が大天使であるかについては様々な論があり定まっていない。それでも、ミカエル、ガブリエル、ラファエル、ウリエルは大天使として常に現れる名前である。まずはこの四人の大天使に焦点を当てる。, もっとも人気が高く、常に天使たちのトップに立ってきた彼は、“力天使の指導者”、“大天使の指導者”、“神の御前のプリンス”、“正義の天使”、など、数々の称号を持つ。知力はもとより、彼の優れた能力は鞘から抜かれた剣が示すように、戦うための天使として武勇において語られることが多い。ミルトンの失楽園の中では、サタンとの戦いが始まったとき、『天軍の指揮者ミカエルよ、汝もゆくのだ！武勇においてミカエルに次ぐガブリエルよ！汝も共に…』と神から指令を受けている。, ドラゴン退治：『わたしはまた、一人の天使が、底なしの淵の鍵と大きな鎖とを手にして、天から下って来るのを見た。この天使は、悪魔でもサタンでもある、年を経たあの蛇、つまり竜を取り押さえ、千年の間縛っておき、底なしの淵に投げ入れ、鍵をかけ、その上に封印を施して、千年が終わるまで、もうそれ以上諸国の民を惑わさないようにした』（『ヨハネの黙示録』), サタンとの一騎打ち：両軍の兵の見守る中、ミカエルとサタンは自然の調和と秩序が破れるかと思われるほどの激しい攻防を重ね、ついに決定的な一撃が決まる。『その攻撃力においても、瞬時に敵の攻撃を避ける早業においても、どちらにも遜色はなかった。ただ、ミカエルの剣は神の武器庫から賜ったものだけに、さすがに鍛え抜かれており、その刃にはどんなに鋭い剣も硬い剣も刃向かうことはできなかった。一挙に屠り去ろうと、真っ向から激しい気負いで振り下ろされたその剣を、サタンの剣がはっしと受け止めたが、その次の瞬間、真っ二つに切断されてしまった。それどころか、ミカエルは目にも止まらぬ速さで己の剣を後方に弧を描いて振りかぶり、再びサタン目がけて振り下ろすと、今度は彼の右の脇腹を深くえぐった。この時、サタンは初めて苦痛を知り、身をよじって転々と転げ回った』（ミルトン『失楽園』）, 死海写本の『光の子と闇の子との戦い』では、ミカエルは光の君主として軍を率いて闇の支配者であるベリアルの軍と対抗する。この時のミカエルの役割は天の副王（堕天前のサタンの称号）であった。, 中世において、ミカエルは魂を冥界に導く者だった。メルクリウス神を崇拝するガリアの異教徒たちを教会が引きつけたがったため、冥界の神の属性の多くがミカエルに与えられた。マリアへ死を伝える役割も請け負っている。 また主とともに輝かしく降臨する図などもよく見かけられるものだろう。 現在や未来、相手の気持ちはもちろん、守護霊やタロットから導かれたアドバイスをお届けします。, 審判の意味（正位置・逆位置）｜恋愛・相手の気持ち・復縁などの悩み別解釈例で分かるタロット解説. 天使といえば一般的には中性的で美しい人間に鳥の翼が背中にあるというイメージがあるのではないだろうか。 だが、神の御使いである天使は実は様々な姿を持っている。, 天使は神の御使いであり、神の代理として人間に神の御心を伝えに来たりすることは比較的よく知られているだろう。キリスト教において天使は人間をよき道へ導き、人間を守ることを神より命ぜられている。 彼はカナンの女司祭たちに月の干潮と運行を教え、魔力を行使する手助けをしたという。, もう一つ、サリエルが堕天使に見なされる原因が彼の持つ邪視（Evil-eye）の能力である。これは見つめるだけで相手の身動き封じたり、場合によっては死に至らしめることも可能なのである。ヨーロッパ、オリエントでは邪視はまさしく恐怖の対象であり、邪視の魔除けにサリエルの名の記された護符が持たれるようになっていたが、こうしたことは彼を堕天使と見なす根拠となっていった。, ラグイル（Raguil）、ラスイル（Rasuil）、ルファエル（Rufael）、アクラシエル（Akrasiel）などの別名を持ち、“神の友”として知られる。エノクによればこの天使は“光の世界に復讐する”という。マルコム・ゴドウィンによれば、これは「天使の善行を監視する者」として解せるという。 最後の審判の日に黄泉の門を開き、すべての魂を審判の席に座らせる役目を持つ。 エノクはウリエルを、七人の大天使の長であるとし、罪人を罰する場のタルタロスを取り仕切っているという。 ラファエルはプロテスタントの聖書にはその名は出てこないが、カトリックで正典と認められている『トビト書』で重要な役割を果たし、正典に名前を残す主要な天使のひとりとなっている。, 大地と、そこに住まう人間の物理的な幸福はラファエルにかかり、天使たちの最も親しい友人であるという。天使の中でも明るく穏和な気質を持ち、何も知らない人間と楽しく語り合っていることも多い。『失楽園』の中で、エデンの園にサタンが侵入したことを心配した神がアダムとイヴのもとにラファエルを使わして忠告させるが、そこでも「友誼心」の厚い天使と形容されている。さらにエデンの園に降り立ったラファエルは、天界でのルシファーの反乱のことの他、アダムの好奇心の質問に応じて世界の創造のことや天体の運行などを話してやったりしてアダムの話し相手になっている。, 『トビト書』の悪魔退治
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